Dérivation, convexité - Spécialité
Convexité : calcul de la dérivée seconde
Exercice 1 : Déterminer une dérivée première et une dérivée seconde
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) la fonction définie sur \( I \) par \( f(x) = x + \operatorname{ln}\left(x\right) \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur \( I \).
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \) en tout \( x \) de \( I \).Exercice 2 : Déterminer une dérivée première et une dérivée seconde (sans fonctions trigonométrique ou logarithmique)
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) la fonction définie sur \( I \) par \( f(x) = 2x^{2} + x -3 \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur \( I \).
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \) en tout \( x \) de \( I \).Exercice 3 : Calculer des dérivées premières et secondes de produits (cosinus, sinus, racine carrée, exponentielle, polynôme)
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = - \left(2 + 6x\right)\operatorname{sin}{\left(x \right)} \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Exercice 4 : Calculer des dérivées premières et secondes de produits et quotients (linéraire, cosinus, sinus, racine carrée, exponentielle)
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = \dfrac{4}{3\operatorname{cos}{\left(3x \right)}}\left(- e^{5x}\right) \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Exercice 5 : Calculer des dérivées premières et secondes de sommes
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = 3x^{2} -4x + 1 + e^{- x} \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Donner la dérivée de \( f \).